دینامیک شبکه الکتریکی

خلاصه:
دینامیک یک شبکه الکتریکی را می توان با دانستن صفرها و قطب‌هایش به طور کامل توصیف کرد. هر ترانسفورماتور را می توان با یک شبکه نردبانی که از حل مدار معادل آن به دست می آید بیان کرده و به کمک آن صفرها و قطب‌های تابع انتقال آن را به دست آورد.
ما می خواهیم یک راه حل کوتاه بر مبنای آنالیز فضای حالت را نشان دهیم. با استفاده از فضای حالت و توابع لاپلاس شرایط مناسبی برای محاسبه عددی فراهم می آید. با استفاده از این ترکیب در عمل دیگر محدودیتی برای سایز شبکه و توپولوژی مدار که شامل مقاومت‌ها و خازن‌ها و القاگرها است نداریم.
معرفی: ترانسفورماتورهای HV را عموما برای مقاومت در برابر over voltageها و نیروی مدار کوتاه طراحی می کنند وقوع این پدیده ها طبیعی و گریز ناپذیر است و علت عمده خرابی های ترانسفورماتور است. تشخیص به موقع برای جلوگیری از خرابی ها بسیار مهم است برای رسیدن به این مهم تست‌های تشخیص و condition montoring روش‌هایی است که به ما کمک می کند تا از وقوع خطاها آگاه شویم.
از میان روشهای تشخیص، TF روش بسیار مناسبی برای تعیین خطاهای دی الکتریک است و تغیر شکل‌های مکانیکی است. [۱]
چنانچه از این روش برای تشخیص استفاده کنیم ،تفسیر بهتر و دقیق‌تر TF برای شناسایی خطا الزامی است. مطالب جالب و متنوعی در مورد آنالیز مدار معادل ترانسفورماتورها و قطب‌ها و صفرهای تابع تبدیل با توجه به نوع سیم بندیها و تاثیر آنها بر روی یکدیگر (inter action) به طور کامل بحث شده است.
همانطور که در ‌[۲] اشاره شده است ، اگر صفر و قطب های یک سیستم یا شبکه الکتریکی را بدانیم می توانیم دینامیک آن را به طور دقیق تعریف کنیم. به این وجود تاثیر صفرها در شکل تابع تبدیل خیلی مورد توجه نبوده است. اما در [۲] تفسیرهای مفیدی از صفر تابع تبدیل اعلام شده است و حذف صفر و قطب‌های نزدیک به هم را به خوبی بیان کرده است آنچه مشخص است دانستن صفرها همانطور که انتظار می رود مفید است. به ویژه وقتی بخواهیم جزئیات بیشتری در رابطه با سیم بندی‌های چند گانه و تداخل (interaction) آنها بدانیم.
شکل (۱) مدار معادل یک ترانسفورماتور در سیم پیچ را نشان می دهد. محاسبه فرکانس‌های طبیعی و توزیع ولتاژ دو موضوع مورد علاقه ماست. موارد زیر به عنوان نکاتی هستند که در نمایش مدار معدل سایز بزرگ و تحلیل آن باید مورد توجه قرار گیرند.
معمولا برای نمایش بهتر و همچنین برای به دست آوردن تمام فرکانس‌های طبیعی مدار قسمت‌هایی را به مدار اضافه می‌کنیم.
برای تصحیح تفسیر و درک بهتر تابع تبدیل اندازه گیری شده از ترانسفورماتور بسیار ضروری است تمام تداخل بین سیم پیچ‌ها را در نظر بگیریم [۳].
برای اینکه پاسخ ما واقعی تر گردد باید اتلاف‌ها را در نظر بگیریم.

جای شکل
.IIراهکارهای موجود درحل مسائل
در این قسمت اشاره کوتاهی به متدهای موجود برای حل شکل (۱)
(برای توزیع ولتاژ و فرکانس های طبیعی کرده ایم.
۱) اگر چه نرم افزارهای برای آنالیز مدار را می توانیم مورد استفاده قرار دهیم اما آنها فقط شماتیکی از نتیجه TF را نشان می دهند و اطلاعات کافی درباره قطب وصفر به ما نمی دهند . زیرا در این نرم افزارهای تمایز بین دو قطب نزدیک به هم و یا جفت صفر و قطب نزدیک به هم ( حذف صفر و قطب ) را بسیارمشکل می توان تشخیص داد.
۲) در اواسط دهه ۱۹۵۰ یک روش از سوی ABETTI [4] پیشنهاد شد و او از آنالیز گره ای برای آنالیز مدار معادل یک سیستم که شامل سیم پیچی دو کوپله بودند استفاده کرد که فقط برای تعیین فرکانس های طبیعی مدارهای سایز کوچک مورد استفاده قرار گرفت .
۳) در سال ۱۹۶۴، Guruaij [5] متد پاسخ توسعه یافته را ارائه کرد که بر مبنای راهکار مقادیر ویژه بود. این روش به ما در به دست آوردن فرکانس‌های طبیعی و توزیع ولتاژ کمک می کند و مورد استفاده برای شبکه های بزرگ است.
۴) در سال ۱۹۷۷ و Degene ff [6] یک روش مشابه که از ماتریس گره ای ادمیتانس بود ارائه داد یکی از شرایط آن بدین صورت است که اتلاف را در نظر نگیریم.
۵) FERGETAD [7] در سال ۱۹۷۴ یک راهکار برمبنای فرمول فضای حالت برای محاسبه نوسانات ارائه داد در این روش قطب ها مستقیما از مقادیر ویژه سیتم و صفرها از معکوس سیستم بدست می آمد که روش سر راستی نیست.
III .محاسبه تابع تبدیل به کمک فضای حالت:
روش متغیر حالت یک روش بسیار کارآمد برای توصیف رفتار دینامیک یک سیستم یا شبکه روش متغیر حالت است KUH وRohrer [8] کارهایی روی آن برای تحلیل شبکه انجام داده اند و نتایج را اعلام کرده اند . فضای حالت برروی سیستم غیر خطی متغیر با زمان مانند سیستم جایی که روشهای کلاسیک از توصیف آن عاجز بودند گسترش یافته است (۱)
به طوری که کیفیت رفتارسیستم،پسیویته، با زمان خطی ، پایداری و … به راحتی با مشخصات متغیر حالت قابل بیان است. از مزایای دیگر این روش،سیستم با معادله دیفرانسیل مرتبه اول توصیف می شود و برروی برنامه نویسی بر روی کامپیوتر های دیجیتال مناسب است .
A تعریف ها.
حالت یک سیستم باید اطلاعات کاملی از دینامیک سیستم به ما بدهد یک انتخاب مناسب برروی متغیرهای حالت آن است که مجموعه ای معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول که از هم مستقل هستند را انتخاب کنیم.
[۹] .
عمومی شکل که برای معادلات خطی lti بیان می شود
X : متغیرهای حالت
: مشتق زمانی متغیرهای حالت
U : بردار ورودی
Y بردار خروجی
(A,B.C,D) :ماتریس های ثابت هستند
B: انتخاب متغیر حالت
برای یک سیستم که مورد آنالیز قرار می گیرد انتخاب متغیرهای حالت یکتا نیست . انتخاب تصادفی متغیرهای حالت ممکن است پیچیدگی را افزایش دهد. برای اجتناب ازاین حالت ها ، راهنمایی هایی برای انتخاب متغیر حالت وجود دارد .
متغیرهای حالت معمولاً با کمک المان های ذخیره کننده انرژی تعیین می شوند در واقع ما به تعداد المان های مستقل در یک شبکه متغیر حالت کمتری داریم به طور مثال در شکل (۱) تعداد متغیرهای حالت کمتر از عناصر ذخیره کننده انرژی است [۱۰]. بر پایه این مدل جریان های اندوکتانس ها و ولتاژ خازن ها را به عنوان متغیرهای حالت مطلوب در نظر می گیریم . به عنوان مثال در یک سیستم به کمک گراف ، گره ها را مشخص می کنیم درختی که از عناصر ذخیره کننده تشکیل میدهد و از همه گره‌ها می‌گذرد را می‌توان به عنوان متغیر حالت در نظر گرفت
برای مدل مدارنشان داده شده درشکل (۱) متغیرهای حالت را بدین صورت انتخاب می کنیم .
۱) جریان القاگرهای سیم پیچ اولیه
X1=i1 , X2=i2 , Xn1= in1
2) جریان القاگرهای سیم پیچ ثانویه
Xn+1= , …. , Xn1+n2= n2
3) ولتاژ های گره سیم پیچی اولیه
Xn1+n2+1=e2
Xn1+n2+1=e3, … , X2n1+n2-1=en1
4) ولتاژ های گره سیم پیچی ثانویه

X2n1+n2= 2
X2n1+n2+1=
.X2n1+2n2-2= n2
بنابراین تعداد متغیرهای حالت کل=۲n1_2n2-2 را بدست می آید.
C : فرمول بندی مدل حالت
معادلات حالت که در اینجا فرمول بندی می شود بروی یک ترانسفور ماتور دو سیم پیچی شکل (۱) است که در ثانویه آن مدار کوتاه است. وقتی ترمینال سیم پیچی دومی حالتی دیگر است به طور مشابه فرمول بندی میشود
۱) مشتق های زمانی جریان های القایی :
V1 تا Vn1 و Vn1 تا نمایش دهنده ولتاژ القاگرهای طرف اولیه و ثانویه باشند همین طور ‌‌‌‍[L] نمایش دهند ماتریس اندوکتانسهای سلف‌ها و اندوکتانس های متقابل مدار می باشند. رابطه بین مشتق جریان اندوکتانس با ولتاژ دو سر آن از رابطه (۴) بدست می آید.
به طوری که با توجه به اینکه سیم پیچی طرف دوم اتصال کوتاه است داریم:

(R) را ماتریس قطری با رابطه زیر است

اگر را اینطور تعریف کنیم

با استفاده از (۶) و (۷) و ولتاژ گره ها و به کمک (۵) بدین صورت ساده می شود.
اگر بر ماتریس های متشق زمانی جریان‌های القاگر و ولتاژ گره‌ها ولتاژهای ورودی دلالت کنند و به این شکل توصیف کنیم به طوری که
رابطه (۸) تبدیل می شود به
بنابراین مشتق زمانی جریان القاگرها به جریان القاگر و ولتاژ گره ها و ولتاژ ورودی وابسته می شود.
به کمک قانون KCL برای مدار شکل (۱) داریم
که ‍ ماتریس کپسیتانس گره ای مدار می باشد. معادلات بالا را می توان به صورت زیر نوشت.
جایی که ‍]T] یک ماتریس (n1+n2)x(n1+n2) است و به صورت زیر توصیف می شود.
جایی که [۱T] ماتریس با بعد n1n1 است و به صورت زیر توصیف می شود. [۲T] همان شکل [۱T] را خواهد داشت با این تفاوت که n2n2 است. با توجه به این که مدار دومی اتصال کوتاه است. رابطه (۱۴) تبدیل خواهد شد:
که ‍]k1] در واقع (n1+1) ستون [K] است.
نظر به اینکه انتهای گره های خطوط سیم پیچی اولیه و ثانویه به پتانسیل e1 (ولتاژ ورودی) و طرف دیگر آن o است کاربرد KCL برای این گره‌ها معادلات اضافه را نتیجه می دهد.
برای اجتناب از این اضافه ها رابطه (۱۷) را به این صورت اصلاح می کنیم .
با جدا سازی مشتقات متغیرهای حالت و ولتاژ ورودی رابطه بالا به صورت زیر اصلاح می شود.

جایی که ‍‌[Ta] و مطابق اولین و امین سطر و است.
به طوری که و از معادله استتناج می شود به طوری که
اگر و ماتریس هایی باشند که مشتق زمانی ولتاژ گره ها را به جریان های القاگر و مشتق زمانی ولتاژ ورودی مربوط می سازند آنگاه داریم

(جمله ۱۹) به صورت زیر در می آید بنابراین مشتق زمانی وولتاژ گره ها به صورت جریان القاگر و مشتق زمانی ولتاژ وروی توصیف می شود
۳) معادله حالت : برروی مدل مدار معادله حالت با ترکیب رابطه (۱۲) و(۲۴) به صورت زیر فرمول بندی می شود.
x و بردار متغیر حالت و مشتق مرتبه اول آن است و u نیز بردار ورودی را توصیف می کند به طوری که
و ماتریس [A] و[B] به این صورت تعریف می شوند به طور کلی معادلات حالت مشتق زمانی مرتبه اول متغیرهای حالت را به متغیرهای حالت ومحرک آن مربوط می سازد و به طوریکه شامل هیچ کات ست از القاگرها و درختی از خازن ها نیست [۱۱].
(۴) معادله خروجی : جریان خنثی سیم پیچ اولیه را به عنوان متغیر خروجیy مدل حالت انتخاب شده است با متغیر حالت x و ورودی u رادر نظر بگیریم.
با توجه به شکل (۱)جریان خنثی i مجموع جریان های القا گرها خازن ها سری از ۱n بخش سیم پیچی اولیه است که به صورت زیر است.

با توجه به به تعریف متغیرهای حالت و رابطه (۲۵) معادله بالا به صورت زیر نوشته می شود
جایی که و عبارت از امین سطر و
از ترکیب دو معادله در یکی داریم

رابطه ۳۱ بدین صورت اصلاح می شود
معادلات (۲۵)و(۳۱) باهم ترکیب شده و مدل حالت شبکه را بدست می آید
IV. تعیین قطب و صفر
برای یافتن یک توصیف تحلیلی برای تابع تبدیل معادلات حالت در حوزه زمان باید به حوزه S برده شود با استفاده از تابع لاپلاس روابط (۲۵) و (۳۱) به صورت زیر در می آید.
که I یک تابع همانی با بعد A است . همین طور
اگر TF را به صورت نسبت خروجی Y به ولتاژ E(s) تعریف می کنیم
با استفاده از رابطه بالاترسیم TF بر روی مقادیر عددی S در گستره وسیعی از فرکانس امکان پذیر است.
A.ریاضیات پیچیده در محاسبه TF
همانطور که قبلا گفته شد شکل به طور کلی اطلاعات کاملی از همه صفر و قطب به ما نمی دهد.
برای محاسبه TF در رابطه(۳۴) نیازمند آن هستیم که ماتریس را محاسبه کنیم یافتن معکوس این ماتریس بسیار وقتگیر و زمانبر است حتی اگر کوچک باشد یافتن ماتریس معکوس بسیار آسانتر می گردد وقتی ماتریس قطری باشد برای این منظور ماتریس سیستم را به مدل حالت دیگر انتقال می دهیم.
B.قطری سازی ماتریس سیستم :
قطری کردن ، ماتریس سیتم با کمک تابع تبدیل خطی را می توان بدست آورد که یک تکینیک شناخته شده است .
با کمک این تابع تبدیل می توان ، ماتریس سیستم را قطری می کرد اگر مقادیر ویژه ماتریس سیستم باشد و ماتریس مودال باشد با استفاده از رابطه روابط( ۲۵ )و (۳۱ )به صورت زیر تبدیل می شود
به طوری که

با این فرض که ماتریس یک ماتریس قطری است که عناصرش همان مقادیر ویژه ماتریس A است .
حال TF جدید را داریم
از آنجاییکه ماتریس معکوس یک ماتریس قطری است محاسبه مربوط به آن بسیار ساده تر می گردد و مزیت این سیتم در شبکه های بزرگ بهتر به چشم می آید.
C.روش جبری ساختن TF
روش ساختن TF بوسیله استخراج ازعامل مشترک صورت و مخرج چند جمله ای در اینجا توصیف می گردد با کمک این روش به راحتی می توان صفر و قطب را بدست آورد.
اگر ماتریس های را به صورت زیر تعریف می کنیم
بنابراین ماتریس معکوس مشخصه تبدیل می شود به
اگر
باشد و به صورت زیر ساده سازی گردد داریم
که
به طوری که و و توصیف می شود به صورت زیر
معادله( ۳۷) صورت زیر در می آید
با ساده سازی داریم.
به طوری که P وQ صورت و مخرج چند جمله ای TF را نشان می دهد .
تعیین قطبها :
قطبهای TF ریشه های چند جمله ای Q(s) هستند و با توجه به آن ۴۸ و ۴۹ نتیجه می دهد .
بنابراین قطبهای TF همان مقادیر ویژه هستند که در ماتریسA بودند
تعیین صفرها
صفرهای TF ریشه های چند جمله ای P(s) هستند از رابطه( ۴۸) داریم .
عامل مشترک چند جمله ای (s) P با دستکاری جبری روی عامل مشترک چند جمله ای را می توان بدست آورد که در ادامه توضیح داده می شود.
با توجه به رابطه (۴۶)(S) باحاصلضربv فاکتورهرکدام به فرم ( توصیف می شوند.
بدست آوردن عامل مشترک چند جمله ای(S) با داشتن زمانی که آنها ریشه هایش هستند کار بسیارساده ای است
به طور کلی (S) چند جمله ای به صورت بیان می شود.
به طور مشابه عامل مشترک چند جمله ای های را از رابطه (۴۴) و(۴۵) قابل استخراج است.
با این تفاوت که عامل مشترک چند جمله ای را با عملگرد نمایش می دهیم بنابراین عامل مشترک چند جمله ای های استخراج شده را می توان به صورت زیر نمایش داد.
عوامل مشترک P(s) به راحتی از رابطه (۵۱) ساخته می شود مجموع عوامل مشترک با توان مشابه (s) چند جمله ای ها در P(s) عوامل مشترک P(s) را نتیجه می دهند.
پس عامل را باضرب در S به صورت در می آوریم.
V . نتایج وبحثها
این روش در Matlab پیاده شده است در جدول۱ زمان لازم (با توجه به مشخصاتcpu که )برای تعیین قطب و صفر TF بروی مدار شکل ۱ با تعداد سیم پیچی های متفاوت آمده است.
۱)همان طور که در جدول ۱ آمده است روش تحلیلی فضای حالت بسیار کارآمد است حتی در سیستم های بسیار بزرگ جواب را در مدت زمان معقولی بدست می آید جواب یک سیستم با ۲۵۰ سیم پیچی که صرفاً آکادمیک است در مدت ۷۰۹ ثانیه محاسبه می شود.
۲) نمونه نتایج (شکل TF و مکان قطب و صفر) در شکل ۲ و ۳ نمایش داده شده است که سیم بندی ثانویه مدار کوتاه شده است هر دو نقطه خنثی زمین شده است. شکل ۲ شکل TF که محور افقی آن فرکانس است را نمایش می دهد.
شکل۳ مکان صفر و قطب TF به طور دقیق نمایش می دهد حتی صفر و قطب نزدیک هم و حذف صفر و قطب کاملاً مشخص است در حالی که فقط با رسم TF نمی توانیم این پدیده را مشاهده کنیم .ان صفرهایی که نزدیک محور صفر قطب ها هستند تاثیر روی شکل و نتیجه TF دارند. از آنجائیکه در رسم TF توجه خیلی زیادی به صفرها نمی شود سودمندی تعیین صفر و قطب بیش از پیش نمایان می گردد
۳)گر چه ممکن است کپستبانس سری با توجه به نوع سیم بندی دیسکی ،دولایه ای ) مقادیر مختلفی را اختیار کند بازهم مشکلی پیش نمی آید (علیرغم حذف صفر و قطب) مقاوم بودن این روش را نشان می دهد.
۴) تعیین توزیع ولتاژ در گره های مختلف بدون تلاش زیادی ممکن شده است
IV نتیجه گیری
در این مقاله یک متد بر مبنای فضای حالت برای محاسبه صفرها و قطب های تابع تبدیل یک مدار معادل ترانسفور ماتور بیان شده است باکمک این متد می توان برای حالات مختلف ترانسفور ماتور، مانند سیم پیچی ها با تعداد مختلف و شرایط و تریتال ها و… مکان دقیق قطب و صفر را در زمان مناسب و محاسبات سرراست بدست می آورد.